Действия со степенями с одинаковым основанием
Оглавление:
Алгебра – 7 класс. Умножение и деление степеней
Итак, надо $\frac{a^n}{a^m}$, где n > m. Запишем степени в виде дроби: Для удобства деление запишем в виде простой дроби.
Теперь сократим дробь.
Получается: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n-m}= a^{n-m}$.
Допустим, необходимо $\frac{a^n}{ b^n}$. Запишем степени чисел в виде дроби: Для удобства представим.
Используя
Как считать степени
Действие которое производят со степенью называется возведением в степень. Показатель степени может быть положительным и отрицательным, целым числом или дробью, правила действий со степенями остаются при этом прежними.
Если основание степени — отрицательное число, а показатель степени нечетный, то результат возведения в степень отрицателен, но если показатель степени четный, результат, в независимости от того, отрицательный или положительный знак перед основанием степени, всегда будет иметь знак плюс.
2 Все свойства, которые мы сейчас перечислим, действительны для степеней с одинаковым основанием. Если же основания у степеней разные, то сложить или вычесть можно только после возведения в степень. Так же как умножить и разделить.
Потому что возведение в степень, согласно установленному порядку выполнения арифметических действий, имеет приоритет над умножением и делением, а также сложением и вычитанием, которые выполняются в последнюю очередь.
Действия со степенями
Ход урока I. Организационный момент Сообщение темы и целей урока.
На предыдущих уроках вы открыли для себя удивительный мир степеней, научились умножать и делить степени, возводить их в степень.
Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.
II. Повторение правил (устно)
- Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
- Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
- Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
- Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а с натуральным показателем, большим 1, называется произведениеn множителей, каждый из которых равен а.)
Что такое степень числа
Запомните! Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число: a1 = a Любое число в нулевой степени равно единице. a0 = 1 Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0n = 0 Единица в любой степени равна 1. 1n = 1 Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.
- 14 = 1
- 0253 = 0
- (−32)0 = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень. Пример. Возвести в степень.
- 2,52 = 2,5 · 2,5 = 6,25
- (3 4)4 = 3 4 · 3 4 · 3 4 · 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 4 · 4 · 4 · 4 = 81 256
- 53 = 5 · 5 · 5 = 125
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём. Запомните! При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
Умножение и деление степеней
nxn5; б) xxn; в) amam Решение: а) nxn5 = nx + 5 б) xxn = xn + 1 в) amam = am + m = a2m Пример 4.
Упростите выражение: а) -a2 · (-a)2 · a; б) -(-a)2 · (-a) · a Решение: а) -a2 · (-a)2 · a = -a2 · a2 · a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = -a5 б) -(-a)2 · (-a) · a = -a2 · (-a) · a = a3 · a = a4 При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями: n12 : n5 где n – это число не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби: n12 n5 Представим n12 в виде произведения n7 · n5, тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n5: n12 = n7 · n5 = n7 n5n5 Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения: n7 · n5 = n7+5 = n12
Степень и ее свойства.
Определение степени
Приведите пример. Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab)n = an•bn .
Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество ( аm )n = аm n .
Определение степени. Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.
Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
. . . . . . . . . . . аn =
Нахождение значения степени называют возведением в степень.
Представьте
Свойства степени с одинаковыми основаниями.
а0 = 1 Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.2-е свойство.
(a*b)m = am * bm Это свойство нельзя применять
Пассажир
Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:
. Например,
.
Пример 1. Найти значение выражения
. Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:
(степень произведения равна произведению степеней множителей),
(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).
Теперь получим: В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.
Смысл степени с натуральным,отрицательным,дробным показателем,Правила действия над степенями:
И сразу придумали.
Число множителей стали записываь маленькой цифрой сзади числа: Все выражение стали на зывать степенью, количество множителей (маленькую цифру сверху) – показателем степени, а сам множитель – основание степени. Не прошло и получаса, как торжественно ввели новое действие – возведение в степень, как по стране чисел стали бегать 56, 174 и многие другие.